Variance et écart-type d'une variable aléatoire

 Définition 

Soit   `X`  une variable aléatoire sur l'univers  `\Omega`  prenant les valeurs  `x_1,x_2, ...,x_n`  de probabilités  `p_1, p_2,...,p_n` . On note  `E(X)`  l'espérance de la variable aléatoire  \(X\) . 

• La variance de la variable aléatoire  \(X\)  est le réel, noté  \(V(X)\)  défini par 
  

\(\boxed{V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+...+p_n(x_n-E(X))^2}\) .

• L'écart type de la variable aléatoire  \(X\)  est le réel noté  \(\sigma(X)\)  défini par   \(\boxed{\sigma(X)=\sqrt{V(X)}}\) . 
  

Remarques  

• La variance de la variable aléatoire  `X` est la moyenne des carrés des écarts des  \(x_i\) de l'espérance de   `X`  pondérés par les probabilités \(p_i\) . Elle est donc toujours positive.
  
• Lors d'un grand nombre de répétitions de l'expérience aléatoire associée à la variable aléatoire  `X` , la variance et l'écart-type de la série statistique des valeurs prises par  `X` approchent la variance et l'écart-type de la variable aléatoire   `X` . 
  
• L'écart-type est une caractéristique de dispersion pour la loi de probabilité de la variable aléatoire.
  
• Dans le cas d'une variable aléatoire modélisant un gain, l'écart-type permet de mesurer le risque de perte ou de gain.